先看 60 秒短片，再读下面的完整推导。
不该印在T 恤正面的等式
人们告诉你，数学中最美的等式是
eiπ + 1 = 0五个基本常数——0、1、e、i、π——在一个等式里完美互联，连同四个基本运算符：乘方、乘法、加法、等号。它被印在 T 恤、纹身、宿舍墙报上。几乎成为数学之美的代言词。
它并不是最美的等式，因为它只讲了半个故事——正好一半。真正完整的版本，不需要移项，不需要填空，不需要补那个零——请见：
exp(iτ) = 1τ（tau）代表一整圈：圆的周长与半径之比，约等于 6.283。把一根绳子绕任意圆一圈，绳子的长度是半径的 τ 倍。转满一整圈等于 τ 弧度。
本文从基本原理出发推导欧拉公式，找到藏在公式里的单位圆，走过它被使用的方式，最后说明那个传说中的欧拉等式，只是被不完整定格的半帧影片。
认识 exp
开局一张图，横轴是时间 t，纵轴是某个量 v。我们想求线条下方的总面积——从起点到任意时刻累积了多少面积。
策略：把面积分成若干细长的竖条。每一条足够窄，可以当作矩形。将它们并排相加，就得到总面积的估计；条越细，误差越少。
我们把每条的宽度记为 dt——字母 d 是 delta 的缩写，代表紧跟在它后面那个量的细微变化。该时刻条的高度是 v，因此矩形的面积是 v · dt。我们把这一细微面积记为 dx——用于记录总量 x 的细微增量：
dx = v · dt右图从零出发，逐步累加每一个 dx——即左边函数的逐步总面积。选一个左边的函数，拖动 N 来细化小块，看面积如何积累成 x：
v — 每一步的变化速度。每个彩色小块的面积为 v · dt；所有小块之和即曲线下的总面积。
x — 累积面积。每个竖线的长度等于 dx = v·dt；曲线记录运行总量。
这就是微积分的基础。左边彩块的总面积等于右边竖线的总长——因为每一小块和对应的竖线承载同一个值 dx = v · dt，只是画法不同。累积数值的变化速度即可还原数值本身。
每张右侧图形都是左侧函数的累积面积。从 v = 1（一条平放的直线）出发，面积线性增长为 x = t。取 v = t，面积弯曲成 x = t²/2。再进一步：v = t²/2 积分得 x = t³/6。每次积分加一次 t 的幂。
注意分母：从 v = t 积分得 t²/2，而不是 t²。那个 2 从哪里来？从 t = 0 开始，一条上升直线下方的面积是三角形：底 t，高 v = t，面积 = ½ · t · t = t²/2。½ 是三角形因子——每个二维三角形都有它。
t³/6 中的 ⅙ 可以分解为 ½ × ⅓。½ 是同一个三角形因子；⅓ 是棱锥因子，三维棱锥中出现的那个分数。在一个维度内再积分一次，就把两个因子乘在一起：2 × 3 = 6，故分母为 6。
每个维度都向分母贡献一个因子。后续几何系列将精确解释每个维度为何贡献那个因子。现在请记住：这些分母不是任意的——它们是维度的指纹。
第一部分 — 当两张图显示同一条曲线时
上面的图表总是显示不同的函数——左右曲线从不重合。但有一个的问题：能否找到一个函数，使两张图显示完全相同的曲线——v 与 x 是同一个函数？
这样的函数将是自增的：它在每一时刻的增长率等于它当前的值。右图越高，增长率就越陡——积累得越多，增长就越快。储蓄账户就是这样复利的：余额越大，利息越多，进而余额更大。人口增长、放射性衰变和电容充电都以同样的方式运作——都由同一条曲线支配。
如何找到它？我们使用折叠加差法。从随机试探 v 开始——不要求一步到位。折叠它：构造变化累积图得到 x。两张图一开始不会吻合，但 x 会告诉你 v 缺了什么：凡是在 x 中有而 v 中还没有的，就是差值。把差值加回 v，再次折叠。每一轮差值变小。持续下去，两张图被迫越来越接近，直到合二为一。
最简单的试探是 v = 1——一条平线。它的积分是 x = t。虽然不同，但右图立刻给出了缺失的部分：+t。加进去：v = 1 + t。再次积分：x = t + t²/2。又有缺失的部分。加进去。观察每次修复如何产生下一次：
绿色：v = 1。
蓝色：折叠结果。
绿色：v 含 6 项。
两张图形状相同，相差恰好为 1：v 从 1 出发，x 从 0 出发。
随着项数积累，两张图越来越趋向于同一形状。在极限处它们描出同一条曲线——相差恰好为 1：v 从 1 出发，而 x 从 0 出发。
只要让 x 从 1 而不是 0 出发，这个差距就消失了。此时两张图承载同一个等式，每一步的小块与竖线整全吻合：
绿色：v = exp(t)。每个小块面积 = v·dt。
蓝色：x = exp(t)。两张图现在合二为一。
这个函数在每一点的变化速度等于函数本身——处处如此，始终如此。我们将其命名为 exp：
exp(t) = 1 + t + t²2! + t³3! + t⁴4! + ···其中 n!（n 的阶乘）是从 1 到 n 所有整数之积：2!=2，3!=6，4!=24。这些分母正是第一部分中的积分自然出现的系数：2 来自二维三角形，3 来自三维棱锥，每个维度乘进一个新数字。以后的系列将给出完整解释。
第二部分 — 一个关键性质
先验证一件事：把 t = 0 代入级数，第一项后的所有项都含 t 因子，全部消失：
exp(0) = 1 + 0 + 0²2! + ··· = 1第二个事实：满足"变化速度等于自身"这一条件的函数族皆可被此等式代表： x = c · exp(t)，其中 c 是任意常数——也就是 x(0) 的值。c = 0 情况下的 x = 0，也是同族的成员。
关键恒等式在此。将两个级数展开，把第一个级数的每一项乘以第二个级数的每一项：
| 1 | a | a2/2! | a3/3! | a4/4! | ··· | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | a | a2/2! | a3/3! | a4/4! | ··· |
| b | b | ab | a2b/2! | a3b/3! | ··· | |
| b2/2! | b2/2! | ab2/2! | a2b2/4 | ··· | ||
| b3/3! | b3/3! | ab3/3! | ··· | |||
| b4/4! | b4/4! | ··· | ||||
| ··· | ··· |
同一对角线上的每个单元格，a 与 b 的幂次之和相同。把各对角线分别求和：
由二项式定理，每条对角线之和等于 (a+b)n/n!。将所有对角线加总：
exp(a) · exp(b) = 1 + (a+b) + (a+b)²2! + (a+b)³3! + ··· = exp(a + b)这篇文章现在要问：如果我们给 exp 输入一个会旋转而不是缩放的数，会发生什么？要回答这个问题，需要两个新函数：cos 和 sin。
重新认识 cos 与 sin
第一部分 — 单位圆
在代数中，平方差有标准分解：
x² − y² = (x + y)(x − y)平方和 x² + y² 却没有同样的处理。但假设我们允许一个数 i，具有特别的定义：i² = −1。称它为虚数（或隐数）——在普通数轴上没有它的位置，而它却遵守代数的所有基本规则。有了它，平方和就变成了变相的平方差：
x² + y² = x² − (iy)² = (x + iy)(x − iy)一个结合了普通部分和"隐藏部分"的数——如 x + iy——称为复数。
在半径为 1 的圆上放一个点，从 (1, 0) 出发沿逆时针方向走。走过弧长 θ 后，它的横纵坐标就是我们命名为 cos(θ) 和 sin(θ) 的两个数——这就是它们的定义。
红色竖线为 cos(θ)，蓝色竖线为 sin(θ)，金色箭头为点 p(θ)。
由于点始终在单位圆上，勾股定理给出：
cos²(θ) + sin²(θ) = 1反方向走角度 −θ，点落在相同的横坐标但相反的纵坐标处。
两点的横坐标相同：cos(−θ) = cos(θ)。纵坐标相反：sin(−θ) = −sin(θ)。
勾股恒等式是一个平方和。利用 i² = −1，平方和可以像平方差一样分解：
(cos(θ) + i sin(θ)) · (cos(θ) − i sin(θ)) = 1图表已表明：cos(−θ) = cos(θ)，sin(−θ) = −sin(θ)。代入第二个因子：
cos(θ) − i sin(θ) = cos(−θ) + i sin(−θ)这与第一个因子具有整全相同的形式——只是角度换成了 −θ。将这一模式命名，并把两个因子一并写出：
两者之积即勾股恒等式：
p(θ) · p(−θ) = 1一个熟悉的性质
这个"乘积等于 1"的模式在 §1 中出现过。由 exp 的性质：
exp(t) · exp(−t) = exp(t − t) = exp(0) = 1p 与 exp 满足同一方程。p 是否其实就是 exp 从不同角度看到的结果？让我们把 p(θ) 展开为幂级数，一探究竟。
第二部分 — 构造 cos
先陈述几个事实（后续系列将给出证明）：在圆上，cos 的变化速度是 −sin，而 sin 的变化速度是 cos。因此对 cos 折叠两次得到 −cos：函数与自身的二重折叠取反。
用折叠加差法构造 cos，但每次折叠需走两层，差值带符号翻转。每一行显示完整的双重折叠过程：v 作为小块 → 折叠一次得 y（竖线）→ y 作为小块 → 再次折叠得 x（竖线）。修复规则：新的 v = 1 − x。
试探 v = 1
∫v 竖线
中间 y
双重折叠结果 x
试探 v
∫v
中间 y
双重折叠结果 x
试探 v（3项）
∫v
中间 y
双重折叠结果 x
试探 v（4项）
∫v
中间 y
双重折叠结果 x
随着修复积累，v 收敛至 cos。左图显示 v ≈ cos 作为小块，右图显示双重折叠结果 x ≈ 1 − cos 作为竖线——两张图相加处处等于 1，这正是定义 cos 的方程 v = 1 − x。
v ≈ cos(θ)
∫v ≈ sin(θ)
中间 y 小块
∬v ≈ 1 − cos(θ)，双重折叠结果 x
第三部分 — 构造 sin
sin 具有相同的"抵抗"性质：折叠两次取反得到 sin 本身。试探从 v = θ 开始（因为 sin(0)=0，零点斜率为 1）。修复规则：新的 v = θ − x。
试探 v = θ
∫v = θ²/2
中间 y 小块
∫y = θ³/6，双重折叠结果 x
试探 v
∫v
中间 y
双重折叠结果 x
试探 v（3项）
∫v
中间 y
双重折叠结果 x
随着修复积累，v 收敛至 sin。左图显示 v ≈ sin 作为小块，右图显示双重折叠结果 x ≈ θ − sin 作为竖线。两张图在每一点相加等于 θ——这正是定义方程：v = θ − x。
v ≈ sin(θ)
∫v ≈ 1 − cos(θ)
中间 y 小块
∬v ≈ θ − sin(θ)，双重折叠结果 x
随着项数积累，两个近似都锁定了各自的目标。
τ、i 与 e 的 Tie
在对比之前，先说明记号。把 t = 1 代入级数，求和约为 2.718…——这个数就是 e。乘法性质 exp(a+b) = exp(a) · exp(b) 与 ea · eb = ea+b 整全吻合，故 exp(t) = et。
对于复数输入，普通算术对"e 的虚数次幂"没有定义。eiθ 是 exp(iθ) 的简写——级数代入虚数参数。这是严格的定义。
三个函数各有一个幂级数。并排放置，联系便清晰可见：
| exp(t) | = | 1 | + t | + t²2! | + t³3! | + t⁴4! | + t⁵5! | + ··· |
| cos(θ) | = | 1 | − θ²2! | + θ⁴4! | + ··· | |||
| sin(θ) | = | θ | − θ³3! | + θ⁵5! | + ··· | |||
| 令 t = iθ | ||||||||
| ik = | ||||||||
| ik | = | i⁰ = 1 | i¹ = i | i² = −1 | i³ = −i | i⁴ = 1 | i⁵ = i | ··· |
| exp(iθ) | = | 1 | + iθ | − θ²2! | − iθ³3! | + θ⁴4! | + iθ⁵5! | + ··· |
| 仅偶数列——将符号换成 i 幂次：1 → i⁰, i⁴, … · −1 → i², i⁶, … | ||||||||
| cos(θ) | = | i⁰ | + i²θ²2! | + i⁴θ⁴4! | + ··· | |||
| 乘以 i：i → i¹, i⁵, … · −i → i³, i⁷, … | ||||||||
| i sin(θ) | = | i¹θ | + i³θ³3! | + i⁵θ⁵5! | + ··· | |||
按列读下来：cos 收集 exp 中所有偶次项。这些列中的 i 幂次（i⁰ = 1, i² = −1, i⁴ = 1, …）是实数且交替变号——恰好是 cos 级数的符号。sin 收集奇次项。那些列的 i 幂次（i¹ = i, i³ = −i, i⁵ = i, …）是虚数且交替变号——即 sin 级数的符号，每项携带一个 i 因子。
把两行相加。每一项形如 ikθk/k! = (iθ)k/k!——与 exp 级数整全相同，只是以 iθ 代替 t。这就是拉拉公式：
exp(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)§1 中无限增长的指数函数，输入一个"隐藏的"参数后，被驯服到单位圆上，永远旋转。当 θ = τ（整整一圈）时，点回到了出发点：
exp(iτ) = 1此外，对任意整数 k：exp(i · k · τ) = 1——每多一个 τ 就多转一整圈，始终落回 1。
N 是从幂级数中取出的项数。N = 1 时只有常数项；每增加一项，逼近就更精确一步。图表标题会随之更新，显示当前包含哪些项。按 ▶ 观看曲线收敛，或拖动 θ 在四张图上同步查看当前值。
偶数项
偶数项（Re 轴）
奇数项（Im 轴）
全部项——螺旋收敛至单位圆
这意味着什么——以及为何是 τ
第一部分 — 等式的应用
旋转图像遍布现代科学与工程。以下四个代表领域：
交流电路。正弦电压是旋转箭头 exp(iωt) 的实部（水平投影）。电阻、电容、电感各自只需用一个复数因子来缩放或旋转箭头。微分方程变成了乘法。
V₀ cos(ωt) = Re[V₀ · exp(iωt)]傅里叶分析。任何信号都是旋转箭头之和，每个频率一支。不同频率的箭头在完整周期内自动相消——它们彼此"听不见"，让电话、Wi-Fi 和广播得以共享同一空气。
f(t) = Σ cn · exp(inωt)量子力学。能量为 E 的粒子携带一个隐藏的旋转箭头，转速由其能量决定。概率（箭头长度的平方）不受旋转影响，但当两条路径相遇时，方向相同的箭头相加，方向相反的相消。双缝干涉就是两支箭头做算术。
ψ(t) = exp(−iEt/ℏ) · ψ₀电磁波。光、无线电波、X 射线——所有这些都是在空间和时间中运动的旋转箭头。物理场是实部。当两列波相遇，箭头相加：方向相同得亮纹，方向相反得暗纹。干涉条纹、衍射光栅、肥皂泡的颜色——都是箭头算术。
E = exp(i(kx − ωt))第二部分 — 整圆与半圆
关于记号 eiθ 的说明。级数在 t = 1 处的求和为 1 + 1 + ½ + ⅙ + ··· ≈ 2.718…，即数 e。乘法性质 exp(a+b) = exp(a) · exp(b) 与实数的 ea · eb = ea+b 整全吻合，故对所有实数 t，exp(t) = et。
对复数输入，普通算术对"将一个数提升到虚数次幂"没有规则。eiθ 是借用实数情形的记号——意思是 exp(iθ)，即级数在虚数参数处的取值。仅此而已。
eiπ = −1 — 影片定格在半途，移项得 eiπ + 1 = 0
eiτ = 1 — 转满整圈，回到起点。无需任何补充。
对任意整数 k，exp(i · k · τ) = 1——每多一个 τ 多转一圈，始终落回 1。τ 的等式对所有整数均成立；π 的等式只对奇数 k 成立。
第三部分 — 我们为何习惯于 π
现代没有人再用直径来测量圆。每一个涉及圆的现代公式都用半径。τ（周长与半径之比）才是这些公式的自然常数。我们继承的 π（周长与直径之比）来自古代几何学家——他们用绳子横放量直径，不绕圆量周长。
拉拉时代，希腊字母像今天的 x、y 一样被用作通用变量，没有固定含义。拉拉的《无穷分析引论》（1748）恰好用 π 表示周长与直径之比，数学界随之效仿。这并非深思熟虑的选择，只是一本著名教科书凝固了约定。τ 姗姗来迟，发现领域已被占据。在自然性上，τ 几乎总是更简洁或更直觉：它就是整整的圆，而不是圆的一半。（参见：Hartl的《The Tau Manifesto》。）
这一历史偶然在每处都带来一个多余的因子 2：
| 公式 | 用 π | 用 τ |
|---|---|---|
| 圆的周长 | 2πr | τr |
| 一整圈（弧度） | 2π | τ |
| 单摆周期 | 2π√(L/g) | τ√(L/g) |
| 傅里叶核 | e2πift | eiτft |
| 高斯归一化 | 1/√(2π) | 1/√τ |
| 拉拉公式（整圈） | e2πi = 1 | eiτ = 1 |
第四部分 — 审美问题
eiπ + 1 = 0 包含五个基本常数 0, 1, e, i, π。但 0 和 1 是语法性的——任何等式都能被改写成含这两者的形式。eiτ = 1 已经含有 1；改写为减法同样得到五个常数，同一个把戏。
eiτ = 1 已含 1。改写为 eiτ − 1 = 0 得 {0, 1, e, i, τ}——五个常数，同一个把戏。
eiπ + 1 = 0 的实质是三个陈述粘合：走半圈、到达 −1、加 1、到达 0。eiτ = 1 是一个内容：转满整圈，回到起点。并排比较：
一个动作比三个更优雅。而且，对任意整数 k，exp(i · k · τ) = 1 始终成立；π 的版本只对奇数 k 成立。τ 的恒等式对所有整数都成立；π 的恒等式只对其中一半成立。
exp(i · k · τ) = 1 对任意整数 k因为每多一个 τ 就多转整整一圈，始终落回 1。π 的版本做不到这一点：eikπ + 1 = 0 只对奇数 k 成立——k 为偶数时，点落在 +1 而非 −1，等式不成立。τ 的恒等式对所有整数都成立；π 的恒等式只对其中一半成立。
如果 eiπ + 1 = 0 值得印在你的 T 恤上，那它属于T 恤的背面——走了半圈。T 恤的正面，属于 eiτ = 1。
给 exp 输入一个整圈——iτ——它画出一个完美的圆，回到起点。 公式里每一个 π，都是 τ 默默折叠成一半， 一支藏在代数里的圆规。
定律一：凡见到 π，τ 都更自然——π 永远只是半个圆。 定律二：凡等式中出现 τ，必有圆形浮现。 下一篇文章要问：∫ exp(−x²/2) dx 等于什么？ 答案藏着 √π——而一旦找到圆，它其实是 √τ。 继续阅读：高斯积分的自然推导 →