一个完整的圆，三个绝妙的等式

你会在三门不同的课程里遇见它们，却没人告诉你它们彼此相关。在微积分里， 泰勒级数从单个点上的几个局部数值重建出一个函数。在复分析里， 柯西积分公式从绕着某一点画出的一条回路恢复出该点的函数值。 在信号课或物理课里，傅里叶变换把一个波拆成它的各个频率。 三个课堂，三套词汇，三份作业。

这篇文章讲的，是它们之间的那道门。这三者背后是同一个物理动作：

泰勒、柯西与傅里叶，是从三个方向把手电筒照向这同一个动作的三种方式。 一旦你看清了这个动作，这三个定理就不再是各自要背诵的孤立事实，而成了同一句话， 读出三种说法。

全文中，τ（tau）代表一整圈旋转，即一个圆的周长与它的 半径之比。拿一根线绕任意一个圆缠一圈，它的长度就是 τ ≈ 6.283 个半径；一整圈就是 τ 弧度。 我们用 τ 而不用 2π 只有一个理由： 本文中的每一个公式都是恰好在一整圈上取的平均，而 τ 正是一整圈的名字。这套记号会不断提醒你，数学实际上在做什么。

三个结果背后的同一个动作：让一样东西旋转，在一整圈上取平均，只有从不旋转的部分留存下来。

第一部分，旋转箭头，以及一个问题

在平面的原点放一个单位长度的箭头，让它指向角度 θ。当 θ 从 0 增长到 τ 时，箭头尖端沿单位圆扫过一圈。我们把这个尖端， 即一个带有水平分量和竖直分量的点，写成一个复数：

exp(iθ)  =  cos θ  +  i sin θ

一个旋转速度快 k 倍的箭头是 exp(ikθ)：当 θ 绕一圈时，这个箭头绕了 k 圈（当 k 为负时，则朝另一个方向转）。 现在，整篇文章都系于这一个问题：

如果我让一个 箭头旋转，并追踪它在一整圈上的平均位置，这个平均最终落在哪里？

拖动 k 改变转速，按 ▶ 让 θ 从 0 扫到 τ。 金色箭头是当前位置，每一根 淡淡的辐条都是箭头已经经过的某个位置，它本身就是一个小箭头，等着被算进 平均里。要对一批箭头取平均，就把它们首尾相接地加起来，再除以箭头的个数： 朱红色圆点正是到目前为止的这个平均。盯着它的 虚线轨迹看，这正是要点所在：平均一开始落在圆周上，钉在最初的 那个位置，然后随着后来的位置不断到来、抵消掉先前的位置，它稳稳地向内螺旋。 到一整圈结束时，每一根辐条都被一根方向相反的辐条配对抵消，平均就被一路拖到了圆心。

这幅图就是证明。一个旋转的箭头均匀地经过每一个方向，所以它的各个位置成对 对称地抵消，平均坍缩到圆心。唯一的例外是 k = 0： 转速为零的“旋转”就是一个冻结在 1 处的箭头，而一个常量的平均 就是它自己。在把这一切压缩成一行之前，让我们用真正画在圆上的那些零件， 把平均一步步搭起来。

第二部分，用零件搭出平均

把这三步动作合在一起，平均就能从图上直接读出来：

点下面任一个框，把它的答案锁进等式里

（ k 为整数 ）

第三部分，整圈抵消引理

为什么必须是整数？抵消需要这条路径能闭合。 如果 k 是整数，箭头在一整圈里转了整数圈，恰好回到它出发的地方， 于是各个位置成对完美平衡、加起来为零。一个分数转速会让箭头停在半路上，路径无法 闭合，留下一小条不抵消的残余。所以从这里开始，我们唯一关心的旋转， 就是那些转完整个周期并闭合的旋转；不闭合的旋转我们干脆先搁在一边。 这并不是损失：闭合的那些旋转，正是后面每个场景所搭建的基础。

傅里叶，一个重复的信号是由各个纯频率组成的和弦；在这里我们读出每一个有多响。

第一部分，把信号看作一堆旋转箭头之和

所谓信号，无非是一个会变化的量：在每一个时刻、或每一个位置上的 一个数值。一个音符响起时，你耳膜处的气压；一根导线上的电压；一张照片某一行的 明暗；一天里潮水的高度。把这个数值对时间、角度或距离画出来，你就得到一条 起伏的曲线。那条曲线就是信号。

我们要处理的是会重复的信号。先从一个随时间变化的信号 f(t) 出发，并假设它经过一个周期 T 后回到出发点， 也就是对每个 t 都有 f(t + T) = f(t)。 那么过了一个周期之后就再不会发生任何新东西：整个信号已经全部包含在一段长度为 T 的区间里，永远重复下去。于是我们干脆把这一段绕到一个圆上， 把绕一整圈叫作 τ，并追踪圆上的角度 θ， 而不是那只不停走的钟。我们把信号写成 f(θ)： 当旋钮停在角度 θ 时它的取值。同一个信号，只是从圆上读取， 而不是从一条没有尽头的直线上读取。

下面是让其余一切都奏效的那个动作。我们把信号的每一种成分都想象成一个固定长度的 小箭头，钉在原点，以它自己稳定的转速旋转。每圈转一次的箭头是 exp(iθ)；每圈转两次的是 exp(2iθ)； 转三次的是 exp(3iθ)； 依此类推。强度 c_k 只是决定第 k 个箭头有多长。

现在把它们首尾相接地叠起来：从原点出发，放下第一个箭头， 从它的尖端开始放下一个，再从那个尖端开始放下下一个。每个箭头以它自己的转速转动， 于是整条链子摆来摆去、晃来晃去，而随着 θ 推进，它的 最末端尖端描出一条路径。那条描出的路径就是信号。所谓信号“由 exp 项承载”，说的正是这件事，一堆旋转箭头之和，其最末端尖端 画出了那条曲线：

f(θ)  =  … + c₀ + c₁exp(iθ) + c₂exp(2iθ) + c₃exp(3iθ) + …

（c₀ 项是那个不旋转的箭头， 一个固定的偏移量，而转速为负的项朝另一个方向旋转。它们合在一起，能搭出 任何重复的信号。）

而这正是本节的目标。从左往右读那个等式很容易：把强度 c_k 交给我，我就能把这些箭头加起来、画出信号 f。但在现实中，我们拿到的等式是反过来的， 我们拿到的是合成后的结果，即每个角度处的 f(θ)，却不知道它的成分， 即构成它的各个 c_k。傅里叶分析正是这个逆问题： 从已经成形的 f 中恢复出每个 c_k， 从而准确揭示出这个信号是由哪些频率、各有多少构成的。§1 的整圈抵消引理一行就能做到， 我们马上就会看到。

有一个前提，只限完整周期。这里正是兑现 §1 那个承诺的地方：我们始终只关心 那些转完完整周期的旋转。对一个信号来说，这意味着什么呢。重复就是要闭合： 一整圈之后信号恰好回到出发的地方， f(θ + τ) = f(θ)。 正是这一个要求，逼着每个转速都必须是整数：一个转速为 k 的箭头，只有当 k 是整数时，才会在一整圈后回到它的起点， 而一个转速为 3.5 的箭头在转完一圈后仍指着半路上，所以携带它的 信号在一圈后不会回到原处。因此，一个在单独一圈上闭合的信号，是由 完整周期的箭头、且仅由它们搭成的，而这恰好就是整圈抵消引理能干净利落读取的情形。

那么一个在一圈上不闭合的信号呢？要么它仍然重复，只是要走更长的一段 （当出现像 3.5 = 7/2 这样的半整数时，需要两圈）；那时我们干脆把那更长的一段叫作 一圈，转速便又都成了整数。要么它根本不重复，比如一个孤立的脉冲，或一个沿着无尽 直线延伸的信号；那时就没有周期可以化整，箭头之和必须张开成它们的一个 连续统，即傅里叶变换，我们在本文不会触及它。

第二部分，两道影子：实部与虚部

每个旋转箭头都活在一个平面里，所以它投下两道影子。 向水平轴作垂线，你读出它的实部；向竖直轴作垂线，你读出它的 虚部。对单位箭头来说，这正是 §1 里的那个关系：

所以当箭头匀速转动时，它的水平影子像一个 余弦那样来回滑动， 它的竖直影子则像一个 正弦：同一种振荡，相差四分之一圈。

下面是值得放慢脚步细看的部分。当你测量一个实信号（耳膜处的气压、导线上的电压）时， 你在每一个瞬间记录的恰好是一个数：那道水平影子，也就是 实部。你的麦克风从不拾取竖直的那道 虚部。没有任何仪器能拾取它。在最字面的意义上，它对我们是 不可见的：我们这个世界里没有任何仪表能把它读出来。

然而它必须存在。把虚部拿掉，箭头就再也无法转动；它只能沿着一条直线来回滑动， 而被困在一条线上的东西没法“绕着”任何东西转。虚部正是箭头能够旋转所 必需的第二个维度。把它想成这台机器隐藏的另一半：一个我们无法在仪器 所在的那一个维度里测量的量，可一旦没有它就没有旋转，而没有旋转，就没有泰勒、 没有柯西、没有傅里叶。这个不可见的部分不是装饰，也不是记账上的方便；它是带动 可见部分运转的那个齿轮。

在下面左边的图里，实线曲线是 f 的 可见的实部影子（仪器真正会记录下来的东西），而 虚线曲线则是不可见的虚部，画在这里只是为了让你 看到你的仪器永远看不到的那套机件。

这一叠箭头是由旋转箭头奏出的一段和弦。分析问题则是反过来的： 有人把成形的声音 f 交给你，你必须恢复出各个单独的强度 c_k，即混合里每个频率各占多少。听上去很难。 整圈抵消引理却让它成了一行就能写完的事。

看箭头同时发出两者，我们却只接住其中一个。这段动画比文字 更能说明问题。一个箭头以稳定的转速转动。在每一个瞬间它都投下它的两道影子， 两者都作为波向外流淌：实部像一个 余弦那样 铺展出去，虚部像一个 正弦那样铺展出去。 箭头同等地发出它们，但只有那道实波能抵达探测器。那道虚波被发往了一个 我们的仪器没有接口的维度。

第三部分，恢复出单独一个强度

为什么要去找单独一个强度 c_k？那一个数正是 “这里头有多少这个频率”的答案：一段和弦里某个纯音的分量，一幅图像里某道波纹的强度， 一次振动里某个谐波的大小。把这些分量从成形的信号中一个一个读回来，正是 分析的含义，而整圈抵消引理就是做这件事的工具。

让我们具体做一个。取转速为 3 的箭头的强度， c₃。把整个信号乘以 exp(−3iθ)，也就是把转速为 3 的箭头倒着转。 这会把每个箭头的转速都减去 3，因为 exp(ikθ) exp(−3iθ) = exp(i(k−3)θ)：

到目前为止我们只是重新调了这些箭头的转速；还什么都没取平均。取平均是下一步动作， 而在一整圈上取平均，就是在这一圈上做积分：对整个和应用 1τ ∫₀^τ( … ) dθ。 直到此刻，整圈抵消引理才发挥作用：每个旋转的箭头（任何非零转速）积分都得零， 而那个静止不动的箭头（转速 0，值为 exp(0) = 1）积分得到它自己的全部。除了一项以外，每一项都被抹掉，总和恰好 坍缩为 c₃。

3 并没有什么特别：同样的动作能恢复出任意整数 k 对应的 c_k。把信号乘以 exp(−ikθ) 再取平均；只有 转速为 k 的箭头被带到静止，其余每一个都抵消，于是它恰好把 它的强度交到你手里：

这就是傅里叶系数。它除了 §1 之外别无玄机： 冻结你想要的那个箭头，把其余的取平均除掉。在左边设定各个强度， 用旋钮选择要恢复哪一个，然后按 ▶，朱红色圆点是移动平均， 一整圈之后它恰好落在你用旋钮选定的那个强度上。

这个动作，从头到尾

这就是傅里叶级数，描述任何周期性事物、任何活在圆上的事物的天然语言。 当你冻结一个箭头、把其余的取平均到湮灭时，得到的就是一个系数；直白地写出来，它就是：

傅里叶系数

柯西，一个光滑的场是刚性的：它在一条回路上的取值锁定了内部的一切。圆周知道内部。

同样的把戏还有第二个家，而这个家撑起了现代物理与工程的很大一部分。在 §2 里， 一个信号是在每一个时刻上的一个数值。现在设想在一个平面的每一点上 都有一个数值：一块金属板上各处的温度，一张绷紧的鼓皮的高度，一块平板上各处的电压， 平稳流动的水。像这样平稳、无源的场，正是一个复函数 f 所刻画的东西，而它们结果竟出奇地刚性。

那种刚性正是本节的妙处所在：一个圆心处的取值，就等于它圆周一圈上各处取值的平均。 测量边缘，你就知道了中心。一块板没法在圆周保持凉爽的同时、把一个热点藏在自己的中心； 中心被钉死在它周围环境的平均上。这个事实就是柯西定理， 它正是 §2 的平均引理换了一件新外衣。先看到它；然后我们看着它从旋转箭头引理里推导出来。

第一部分，先看到它：板上的数据

下面用一个具体的场把整个想法讲清楚，暂时还不用复数。设想一块平板上各处的温度： 板上每一点都带着一个数值，在这里用它的颜色表示。那就是我们所说的 铺在一个平面上的数据。标出一个中心 P，绕它画一个半径为 r 的圆，并在圆周上取任意一点 z。 把圆周一整圈上的温度取平均，你就恰好落在中心 P 处的温度上， 而且无论你把圆拖到哪里，这都成立。

第二部分，证明它：圆周是一束旋转箭头

看到它就先讲到这里。它为什么必须成立呢？因为圆周，经过任意一个 性质良好的函数处理后，结果无非是一束 §2 的旋转箭头，而我们已经知道一整圈对那些 箭头会做什么：所有旋转的东西平均成零，只有静止的部分留存下来。从这里开始的一切， 都是把这一个观察讲精确。

选一个点 P 和一个半径 r，让第二个点 z 沿着以 P 为圆心、半径为 r 的圆行走：

z  =  P  +  r exp(iθ)

P 和 z 都是复数： 它们是平面上的点，而不是一条直线上的刻度。当 θ 从 0 跑到 τ 时，相对中心的位移是

z − P  =  r exp(iθ)

它正是我们的一个旋转箭头：长度为 r，转一整圈。 整圈抵消引理已蓄势待发；我们只需先把这个圆喂进一个函数里。

一个性质良好的函数是一叠幂。复分析所关心的那些函数，即光滑、 不撕裂的那些，恰恰是你能用同一个位移 z−P 的整数次幂之和搭出来的那些：

f(z)  =  a₀ + a₁(z−P) + a₂(z−P)² + a₃(z−P)³ + …

这里有两类符号。不带下标的 P 是圆的 中心，一个固定的点。带下标的 a₀、a₁、 a₂、… 是系数，即给每个幂加权的旋钮设定。 这些系数是在中心处读出来的，特别是 a₀ = f(P)， 我们马上就会看到。

（你总能这样做，这是个深刻的事实；现在先把它当作给定的，我们在 §4 里会挣得它。）这样写 f 立刻就有回报，因为在圆上每个幂都变成了 一个旋转箭头。把刚才上面的 z−P = r exp(iθ) 喂进去，

(z−P)^k  =  r^k exp(ikθ)

于是第 k 项在一个半径为 r^k 的圆上以转速 k 转动（每绕一圈转 k 整圈）。f 在圆上的 每一项都是我们的一个箭头；只有那个常数项 a₀，即转速为 0 的项，不旋转。

现在让它动起来。一个复函数把一个点送到一个点，所以我们同时 看两个平面。左边，输入：z 沿着绕 P 的圆行走，旋转箭头 z−P 从 P 画到 z。右边，输出：函数把它送往哪里，即 f(z)，用相配的颜色描出它自己的回路。 下方：那同一个 f 被拆成它的四项 a_k(z−P)^k。 拖动一个滑块改变某项的大小，拖动 P 移动中心，按 ▶ 让 z 绕一整圈。

这四项。每个 朱红色圆点都是那一项在这一圈上的平均：三个旋转项 （转速 1–3）无论它们的系数如何都平均到 原点；只有转速为 0 的项（金色） 留存下来，坐在 a₀ 处。这六个面板共用一个标尺。

绕圆取平均 → 中心处的值。这就是整个证明，我们刚刚看着它运行了一遍。 用符号说：在圆上，每个幂 (z−P)^k = r^k exp(ikθ) 都是一个旋转箭头，所以 f 是一个静止项加上一整队旋转者的合唱：

在一整圈上取平均，根据整圈抵消引理，每个旋转箭头都消失了；只有那个静止项 a₀ 留存下来：

这就是柯西的均值性质，即本节开头那块板的规则，现在对每一个性质良好的 函数都得到了证明：f 绕任意一个圆的平均，等于它在中心处的值。 无论圆是大是小，f 绕回路的晃动都完美地相互平均掉，只留下中间的那个值。 所以一整圈交给我们一个单独的数，a₀ = f(P)，即中心处的值。

第三部分，这同一个平均就是柯西积分公式

那个圆周平均其实已经就是柯西闻名于世的那个公式了，两者只是同一行换了不同的衣裳， 一小步的求变化速度就能显示这一点。当 z 沿着圆 z = P + r exp(iθ) 行走时，问一小步 dθ 对它做了什么。唯一移动的部件是 exp(iθ)；记 u = iθ，并依靠 exp 的故事里的那个事实， 即 exp 的变化速度就是它自己：

dz  =  r d exp(iθ)  =  r i exp(iθ) dθ  =  i (z−P) dθ
u = iθ,  du = i dθ: d exp(iθ) = exp(u) du = i exp(iθ) dθ

为什么要费力把它改写成 z 的形式？因为 z 形式把角度、甚至把圆都忘掉了：它能从任何包围 P 的回路返回 f(P) （把它缩小、拉伸、压瘪，答案都不动），而且它是能推广的那个版本，能在 §4 里 提取出每一个系数，还能攻克本来束手无策的积分（留数定理）。角度的图景是直觉； z 形式才是复分析其余部分赖以运转的主力。

这个动作本身很简单：两个公式是同一个积分，即那个圆周平均， 只不过用点 z 而不是角度 θ 来写。 这个平均以 dθ 为步长把 f 加起来； 要改成以 dz 为步长来加，就把每个 dθ 换成上面那一行里与之相配的 dz。那一次替换就是全部诀窍：

柯西积分公式：上面那次替换落到的那一行，带着同一个整圈 ∮

这就是它的全部了。但那最后一个因子， 1z−P， 值得放慢脚步看看：它就是我们刚在不规则形上遇到的那个加权平均里的权重。 它不是一个新的成分，只是用 z 而不是用角度 θ 来计数所付的代价，而且它分三步就能推出来。

一。一个公平的圆周平均，对每一片角度都同等计数：每个 dθ 都投同样的一票。这正是这里“平均”的含义。

二。但 z 上的一步并不是角度上的一步。由上面那一行， dz = i(z−P) dθ： z 上的一步，是把角度步长 dθ 按半径 (z−P) 拉伸（并由 i 转了四分之一圈）。所以若是把原始的 f dz 加起来，就会按每个点 离 P 多远的比例多算它：一个不对称的平均。

三。除以 (z−P) 恰好抵消掉 那次拉伸，把每个角度重新放回同等的一票：

半径抵消了，再加上前面的 1τi，这又是那个朴素的圆周平均了

所以 1z−P 就是那个校正权重，它把每个 dz 去拉伸、还原成一个公平的 dθ，它正是之前的那个加权。在圆上， 这个权重是 dz/(z−P) = i dθ， 一个恒定的四分之一圈，所以它把平均拉平成一个完全均匀的平均。在不规则形上， 半径在变化，dz 偏离了它，所以权重不再恒定： 同一个 1/(z−P) 仍然给每一步重新加权，但它再也没法把那些票拉平（这就是那个不对称的平均）。 权重是这个公式的核心；圆只不过是让它呈现得均匀的那种形状。

（符号 ∮ 只是表示“沿闭合回路绕一圈”，和 §2 的 ∫₀^τ … dθ 是同一整圈。） 所以“中心 = 圆周平均”和柯西积分公式是同一个陈述，读出两种说法。

看权重发挥作用。第一部分把圆画在 P 四周，所以每个圆周点离它的距离都一样，那一票是均匀的。这里这条回路被 固定住，你在它内部拖动 P，于是各处距离不同， 权重终于有事可做了：

最后一桩顾虑，也解决掉：除以 z−P 难道不会在中心处 炸掉吗？只在中心本身那一点会，那里 z−P = 0，而我们从不去那里。 我们是在圆周上取平均，那里 z−P = r exp(iθ) 始终与中心保持固定的距离 r，从不为 0。 整整一圈下来，这个圆都让我们安稳地避开那一个点。

柯西积分公式

泰勒：在一个点附近，一个函数是一叠纯幂，而每个幂的强度，恰恰就是傅里叶和柯西交回来的那个数。

第一部分，单独一个点已经知道些什么

在任何公式之前，泰勒所回答的问题是一个物理问题：单独一个点能告诉你多少关于 它周围环境的事？多得出人意料：在一个点附近，一个函数是由几个简单的零件，即它的 构件组成的，而那一个点就锁定了它各自带着多少个构件。下面的图就是 关于看见那些构件的。

盯着一个处于弧顶的小球看那么一瞬间。你能读出它在哪里、它向旁边漂移得多快， 以及那股稳稳向下、把它的路径弯曲的拽力。那一张快照就够了：从那几个局部事实出发， 整条弧线便随之而来，前后都有。曲线一直藏在那个点里面。

还有一幅更深的图景，正是它让 §2 的 旋转箭头不断回来：在任何一个静止点附近，几乎每个系统的行为都像一根弹簧。 凑近看一道山谷的谷底，它像一条抛物线那样卷曲，而那一层弯曲就定下了节奏。一只走时的钟摆、 一根被拨响发声的弦、一块晶体里嗡嗡作响的原子：它们之所以都振荡，是因为凑近看， 它们存储的能量就是那唯一一层弯曲。这正是振荡为什么在物理里到处出现。

你的计算器做的是同一件事，只不过是用算术做的。当被问到 sin(0.3) 时， 它并不藏着什么秘密表格；它把几个简单的项（0.3，然后一个小修正，再一个更小的）加起来， 然后就停。它显示给你的每一个值，都是从一个函数在单独一个点上的行为重建出来的。

这三者背后坐着泰勒的想法：在一个选定的点 P 附近，一个函数被 几个局部构件钉死，而你刚刚就遇见了它们。小球的位置、前进方向和拽力，就是 高度、倾斜和弯曲；山谷的弹簧就是弯曲 单独起作用。这些构件并不稀奇：每一个都是 §1 的 一个旋转箭头，是 §2 和 §3 一直在加起来的那种成分，只是在这里被 按住静止，好让我们能把它叠起来。把它们叠起来（高度、倾斜、弯曲、那层弯曲的转动， 等等），你就能重建附近的任何函数。本节其余部分要问每个构件有多大，然后发现 §2 和 §3 的取平均一直在把那些大小交到我们手里。

第二部分，泰勒说了什么：一叠构件

§3 的回路交给我们一个数， a₀ = f(P)。但一个函数 带着一整叠这样的数，a₀、a₁、 a₂、…，而在计算其余的之前，值得先问问它们究竟是什么。

站在 P 处放大。凑近看，几乎任何光滑函数都像一片平坦的 高度；稍微退后一点，一道淡淡的倾斜出现了；再退一点， 一道平缓的弯曲；然后那道弯曲本身开始转动，如此往下。泰勒的想法， 是通过把那些构件叠起来，在附近一个（实数）点 x 处重建 f，而在纸面上每个构件都是位移 (x−P) 的 一个纯幂：

f(x) = a₀ + a₁(x−P) + a₂(x−P)² + a₃(x−P)³ + …
构件 k 是纯幂 (x−P)^k；系数 a_k 是 f 在 P 附近带着多少个这种构件

所以每个系数就是一个强度，即混合里某个构件的分量： a₀ 定下高度，a₁ 定下倾斜，a₂ 定下弯曲，而每多一个构件， 都让重建出的曲线在更宽的一段上紧贴真正的 f。把下面的计数往上滑， 看着这些层一次一个构件地叠到 f 上。

实数轴给了我们什么，又扣下了什么。到目前为止，这幅图告诉了我们这些 系数是什么：每个 a_k 都是某个构件的强度，把构件叠起来就重建出 f，正如图所示。 一半的活儿甚至是白送的，因为那个形状 (x−P)^k 在 P 和 k 一选定的那一刻就固定了。但图就到此为止。 它把这些构件堆在一起给我们看，却没有给我们任何办法伸进去单独读出一个强度 a_k。知道这些系数意味着什么， 和手里握着一个提取其中一个的方法，并不是一回事。

而这恰恰就是圆的用处。我们拥有一个从一堆东西里抽出单独一片的工具： §1 的那个动作，冻结你想要的那一个， 把其余的在一整圈上取平均除掉。但一整圈需要一个圆，而一条直线没有圆： 你没法绕着实轴上的一个点走一圈。所以我们把实输入 x 提升到平面上的一个圆上， z = P + r exp(iθ) （与原理 3 同一个平面，也是同一个理由）。 在那里，静止的构件开始旋转，§1 的动作终于 能发挥作用，一圈的取平均就能抬出我们所要的任意一个 a_k。无论哪种方式，系数都是同一些数： 我们在一条线上画出它们，在一个圆上提取它们。

第三部分，读出任意一个系数：泰勒 = 傅里叶 = 柯西

§3 用一次取平均读出了中心值 f(P)：即 k = 0 的系数。其余每一个都是同一个平均， 重新调过。看一个等式分四步把它带出来，每一行都是上一行对两边各做一次运算的结果。

4 · 读出这三个名字。那个留存下来的平均就是 §2 的 傅里叶系数 c₃，而它的值 就是泰勒的强度 a₃ （乘上圆的 r³）。并没有什么把构件 3 挑出来：同样的“冻结再取平均”能抽出我们点名的任意一个构件 k。 所以对每一个 k，泰勒的数和傅里叶的数都是同一个数，这正是整篇文章的枢纽：

a_k r^k  =  c_k

这同一个平均还戴着第二张脸。把它写成 z 中的一条回路、而不是 θ 中的一个角度，它就变成柯西的系数公式，即下面那条流水线。 两次替换完成了这次翻译：冻结一个构件（上面那个 exp(−ikθ)）变成除以 (z−P)^k+1，而 在角度上取平均变成那一个回路 ∮(…) dz。两者一起运行还会消掉 r^k，把 a_k 单独交回来，图下方那个在圆上成立的恒等式让这次替换精确无误。

究竟为什么要拿角度去换一条回路？因为这个回路形式就是 柯西的系数公式：同一个强度 a_k， 现在戴上了我们三个名字里的第三个，而且能一下子从任意一个圆上读出来， 而不是被绑在我们画的那一个上。正是这份回报让这次改写值得去做。在那四步里我们 乘以了 exp(−3iθ) 并对 dθ 取平均；下面这台机器则改为除以 (z−P)^k+1，并对 dz 作回路。 不过这没什么要凭空相信的：这两半都从我们已有的东西里推得出来。第 1 步把第 k 个幂变成了转速为 k 的箭头， (z−P)^k = r^k exp(ikθ)； 把它反过来，冻结因子 exp(−ikθ) 就单独立住了。而 §3 已经 求出了 dz = i(z−P) dθ， 即角度步长在回路里的版本。排在一起：

于是冻结变成了除以 (z−P)^k， 而角度步长 dθ 给回路的 dz 提供了多出来的一个幂。把这个恒等式喂进那个枢纽（即给出 a_kr^k 的 §2 平均）： 回路带着的那个 r^k 抵消掉左边那个，立在那里的 就是柯西的系数公式，它把 a_k 交回来，里面再也没有任何半径：

从头到尾读下来，整个动作就是一台机器：喂进 f， 沿回路把曲柄摇一圈，读出 a_k。

这个动作，从头到尾

有了每一个强度在手，这些构件就重新组装成我们一开始的那幅图，现在它精确无误了： 泰勒级数，每个系数都是一整圈交回来的那个数。

泰勒级数

f(z)  =  a₀ + a₁(z−P) + a₂(z−P)² + a₃(z−P)³ + …

每个强度 a_k 都正是刚刚上面推出的那个回路系数，即一整圈交回来的那个数。

为什么同一个 τ 坐在三者之中，以及它们各自读出的那一个等式。

有一根线把这三者系在一起，而它就显现在它们共同带着的那个符号上。 τ 出现在它们每一个里的理由都相同：每一个都是在一整圈上的 平均，而 τ 正是一整圈的名字（你平常看到的那个 2π 就是同一圈的伪装）。所以从这些符号往后退一步，会发现一个 等式一直在 §2、§3 和 §4 底下运行。它完整地写在这里：让输入绕一个以 P 为心的圆转一圈，乘以第 k 个箭头来冻结构件 k， 然后在一整圈上取平均。

τ 是一整圈；exp(−ikθ) 是冻结；那个平均就是所有旋转的东西抵消为零。

三个定理只是对那一行的三种读法。

三个定理原来是同一句话，读出三种说法，而这句话讲的， 就是绕一个圆恰好走一圈。

每当 τ 出现在一个等式里， 总会有一个圆在某处浮现。
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